Question

4．已知函数f（x）=$\frac{a-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）已知实数m＞0，且m≠1，解关于x的不等式：f（log_m（2^x+1））+$\frac{1}{3}$＜0．

Answer 1

分析 （1）根据函数是奇函数，建立条件关系即可求a的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式不等式f（log_m（2^x+1））+$\frac{1}{3}$＜0进行转化即可．

解答 解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=$\frac{{a-{2^x}}}{{{2^x}+1}}$是奇函数．
∴f（0）=0，即f（0）=$\frac{a-1}{2}=0$，解得a=1，
即f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$．
（2）f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，即${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$，
即f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（log_m（2^x+1））+$\frac{1}{3}$＜0等价为f（log_m（2^x+1））＜-$\frac{1}{3}$，
∵f（1）=$\frac{1-2}{2+1}$=$-\frac{1}{3}$．
则不等式等价为f（log_m（2^x+1））＜f（1），
∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
∴log_m（2^x+1）＞1，即log_m（2^x+1）＞log_mm
若m＞1，则2^x+1＞m，则2^x＞m-1，得x＞log₂（m-1），
若0＜m＜1，则2^x+1＜m，则2^x＜m-1，此时不等式无解，
综上若m＞1不等式的解集为（-∞，log₂（m-1）），
若0＜m＜1，不等式的解集为∅．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的证明，利用函数的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．