Question

12．设常数c≠0，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cx+1，x∈（-∞，c）}\\{{2}^{-\frac{x}{{c}^{2}}}+1，x∈[c，+∞）}\end{array}\right.$，若f（c²）=$\frac{9}{8}$
（1）求常数c的值；
（2）解不等式f（x）＜$\frac{\sqrt{2}}{8}$+1．

Answer 1

分析 （1）讨论若c²＜c；若c²≥c，得到c的方程，即可解出c的值；
（2）将（1）中解出的c代入原式．讨论当x＜$\frac{1}{2}$时；x≥$\frac{1}{2}$时，解出x的范围，最后取并集．

解答 解：（1）若c²＜c，则0＜c＜1，∵f（c²）=$\frac{9}{8}$，∴c³+1=$\frac{9}{8}$，解得c=$\frac{1}{2}$；
若c²≥c，则f（c²）=$\frac{3}{2}$，不合题意．
综上，c=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+1，x∈（-∞，\frac{1}{2}）}\\{{2}^{-4x}+1，x∈[\frac{1}{2}，+∞）}\end{array}\right.$，
由f（x）＜$\frac{\sqrt{2}}{8}$+1，得：
当x＜$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}$x+1＜$\frac{\sqrt{2}}{8}$+1，解得x＜$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
当x≥$\frac{1}{2}$时，2^-4x+1＜$\frac{\sqrt{2}}{8}$+1，即2^-4x＜2${\;}^{-\frac{5}{2}}$，即有-4x＜-$\frac{5}{2}$，解得x＞$\frac{5}{8}$．
综上可知f（x）＞$\frac{\sqrt{2}}{8}$+1的解集为{x|x＜$\frac{\sqrt{2}}{4}$或x＞$\frac{5}{8}$}．

点评 本题考查分段函数的应用：求值和解不等式，注意运用分类讨论的思想，考查运算能力，属于中档题．