Question

数列{a_n}的前n项和S_n=-

1

2

n2+kn(k∈N*)，且S_n的最大值为8．
（1）确定常数k，求a_n；
（2）求S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|（n∈N^*）
（3）求数列{

9-2an

2n

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用二次函数的单调性、递推式的意义即可得出a_n．
（2）由题意得|a_n|=

9 2 -n，1≤n≤4 n- 9 2 ，n≥5

．对n分类讨论，即可得出S_n．
（3）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵Sn=-

1

2

n2+kn=-

1

2

(n-k)2+

1

2

k2
∴当n=k时，S_n取得最大值．
∴

1

2

k2=8，解得k=4，此时Sn=-

1

2

n2+4n．
由

Sn=- 1 2 n2+4n Sn-1=- 1 2 (n-1)2+4(n-1)

得an=-n+

9

2

(n≥2)．
当n=1时，a1=S1=-

1

2

+4=

7

2

，符合上式，
∴an=-n+

9

2

．
（2）由题意，得|a_n|=

9 2 -n，1≤n≤4 n- 9 2 ，n≥5

．
当1≤n≤4时，S_n=

n( 7 2 + 9 2 -n)

2

=4n-

1

2

n2．
当n≥5时，S_n=4×4-

1

2

×42+

(n-4)( 1 2 +n- 9 2 )

2

=

1

2

n2-4n+16．
∴Sn=

4n- 1 2 n2，1≤n≤4 1 2 n2-4n+16，n≥5

．
（3）∵b_n=

9-2an

2n

=

n

2n-1

，
∴T_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
两式向减可得，

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

，
∴T_n=4-

n+2

2n-1

．

点评：本题考查了二次函数的单调性、递推式的意义、分类讨论、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、含绝对值的数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．