Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，并且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2^x．
（1）求f（log₂

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）的值；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的奇偶性及已知表达式可得f（log₂

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）=f（-log₂3）=-f（log₂3）=-2log23，再由对数运算性质可得结果；
（2）设任意的x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），由已知表达式可求f（-x），再由奇偶性可得f（x）；由奇偶性易求f（0）；

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2^x，
∴f（log₂

1

3

）=f（-log₂3）=-f（log₂3）=-2log23=-3．
（2）设任意的x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=2^x，∴f（-x）=2^-x，
又f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x，即当x∈（-∞，0）时，f（x）=-2^-x；
又f（0）=-f（0），f（0）=0，
综上可知，f（x）=

2x，x＞0 0，x=0 -2-x，x＜0

．

点评：该题考查函数解析式的求解、函数奇偶性的应用，属基础题．