Question

已知函数f（x）=ax+

a

x

-3lnx．
（1）a=2时，求f（x）的单调区间和最小值；
（2）若a≥0且f（x）在[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，根据导数和函数的单调性的关系求出单调区间，注意函数的定义域，再求最值即可．
（2）首先求出函数f（x）的导函数，由函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，则其导函数在（1，2）恒大于等于0或恒小于等于0，引入辅助函数g（x）=ax²-3x-a后，结合函数在区间端点值的关系列式求解a的范围

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=2x-

2

x

-3lnx，x＞0，
∴f′（x）=2-

2

x2

-

3

x

=

2x2-3x-2

x2

，
令f′（x）=0，得想x=2，x=-

1

2

（舍去），
当f′（x）＞0时，即x＞2时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即0＜x＜2时，函数f（x）单调递减，
故f（x）在（2，+∞）递增，在（0，2）上递减，
当x=2时函数f（x）有最小值，最小值为f（2）=4-1-0=3．
故函数的f（x）的最小值为3，
（2）∵f（x）=ax+

a

x

-3lnx．
∴f′（x）=ax-

a

x2

-

3

x

=

ax2-3x-a

x2

．
令g（x）=ax²-3x-a，
∵函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
则f′（x）在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0，
即g（x）=ax²-3x-a在（1，2）上恒大于等于0或恒小于等于0，
也就是g（1）•g（2）≥0恒成立，
即（a-3-a）（4a-6-a）≥0，解得a≤2．
故实数a的取值范围[0，2]

点评：本题主要考查了导数和函数的单调性和最值的关系，以及恒成立的问题，属于中档题．