Question

17．一片森林原有面积为a，现计划每年采伐一些树木，且每年采伐的森林面积占上一年底森林面积的百分比为q，即第x（x∈N）年底的剩余森林面积为y=a（1-q）^x，x与y的部分对应值如表：

x	0	1	2
y	a	$\frac{20}{3}$	$\frac{40}{9}$

（1）求原有森林面积a和每年采伐森林面积的百分比q；
（2）问经过多少年后，剩余的森林面积开始小于原来的$\frac{1}{10}$．
（注：lg2≈0.301，lg3≈0.477）

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出方程组求解原有森林面积a和每年采伐森林面积的百分比q．
（2）利用数列的通项公式列出不等式求解即可．

解答 解：（1）由题意知，$\left\{\begin{array}{l}a（1-q）=\frac{20}{3}\\ a{（1-q）^2}=\frac{40}{9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=10\\ q=\frac{1}{3}\end{array}\right.$．…（5分）
（2）由题意得，$y=10×{（\frac{2}{3}）^x}$，要使剩余森林面积开始小于原来的$\frac{1}{10}$，
则$10×{（\frac{2}{3}）^x}＜\frac{1}{10}×10$，即${（\frac{2}{3}）^x}＜\frac{1}{10}$，…（7分）
两边取对数并整理得，$x＞\frac{{lg\frac{1}{10}}}{lg2-lg3}=\frac{1}{0.477-0.301}≈5.68$．…（11分）
又x∈N，故经过6年后剩余森林面积开始小于原来的$\frac{1}{10}$．…（12分）

点评 本题考查数列与函数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．