Question

13．设抛物线y²=4x焦点F，经过点P（4，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰好为线段AB的中点，则|AF|+|BF|=10．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由抛物线的定义，得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．又根据中点坐标公式，可得x₁+x₂=8，代入前式即可得到|AF|+|BF|的值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
作出抛物线的准线：x=-1，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，
根据抛物线的定义，得
|AF|=|AC|=x₁+1，|BF|=|BD|=x₂+1，故|AF|+|BF|=（x₁+x₂）+2
∵AB中点为P（4，1），
∴$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=4，可得x₁+x₂=8
∴|AF|+|BF|=（x₁+x₂）+2=10
故答案为：10．

点评 本题给出抛物线的弦AB的中点坐标，求A、B两点到焦点距离之和，着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．