Question

3．如图所示的七面体是由三棱台ABC-A₁B₁C₁和四棱锥D-AA₁C₁C对接而成，四边形ABCD是边长为2的正方形，BB₁⊥平面⊥ABCD，BB₁=2A₁B₁=2．
（1）求证：平面AA₁C₁C⊥平面BB₁D；
（2）求二面角A一A₁D一C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立合理的空间直角坐标系，然后要证明面面垂直，先证明两个平面的法向量是不是垂直即可．
（2）对于二面角的求解，结合图形的特点，表示出点的坐标，进而得到向量的坐标，求解平面的法向量，然后借助于向量的夹角公式得到二面角的平面角的大小．

解答 证明：（1）因为BB₁⊥平面ABCD且ABCD是边长为2的正方形，
所以以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则有A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），D（2，2，0），A₁（1，0，2），B₁（0，0，2），C₁（0，1，2）．
∵$\overrightarrow{B{B}_{1}}$•$\overrightarrow{AC}$=（0，0，2）•（-2，2，0）=0，
$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0）•（-2，2，0）=0，
∴$\overrightarrow{B{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
∴BB₁⊥AC，BD⊥AC，
∵BB₁与DB是平面BB₁D内的两条相交直线．
∴AC⊥平面BB₁D，
又AC?平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C⊥平面BB₁D．
解：（2）$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（1，2，-2）．
设$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁）为平面A₁AD的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{1}+2{z}_{1}=0}\\{2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
同理平面A₁DC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{2}+{y}_{2}=0}\\{{x}_{2}+2{y}_{2}-2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{m}$=（2，2，3），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{7}{\sqrt{5}×\sqrt{17}}$=$\frac{7\sqrt{85}}{85}$
 由图知二面角A-A₁D-C₁为钝角，所以其余弦值为-$\frac{7\sqrt{85}}{85}$．

点评 本试题主要是考查了空间几何体中面面垂直的关系的证明和二面角的求解的综合运用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．