Question

1．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，其中a₁=1，且$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N^*）．记b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意的n≥k（k∈N^*），都有|T_n-$\frac{3}{4}$|＜$\frac{1}{4n}$，则常数k的最小值为4．

Answer 1

分析 等差数列{a_n}的公差为d，由$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N^*），即S_n=λa_na_n+1，a_n≠0，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得1=2λd，n=1时，λa₂=1，d=a₂-a₁=$\frac{1}{λ}$-1，代入解得λ=$\frac{1}{2}$，d=1．可得a_n=n．b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$．由|T_n-$\frac{3}{4}$|＜$\frac{1}{4n}$，化为n（3+2n）＜3ⁿ，n=1，2，3时，上式不成立．n≥4时，上式成立．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=λa_n+1（n∈N^*），即S_n=λa_na_n+1，a_n≠0，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=λa_n（a_n+1-a_n-1），
∴1=2λd，
n=1时，λa₂=1，
∴a₂=$\frac{1}{λ}$，
∴d=a₂-a₁=$\frac{1}{λ}$-1，
∴1=2λ$（\frac{1}{λ}-1）$，
解得λ=$\frac{1}{2}$，d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3+2n}{2×{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$．
|T_n-$\frac{3}{4}$|＜$\frac{1}{4n}$，化为$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$$＜\frac{1}{4n}$，
∴n（3+2n）＜3ⁿ，
n=1，2，3时，上式不成立．
n≥4时，上式成立．
下面利用数学归纳法证明：
（1）n=4时，3⁴-4×（3+2×4）=37＞0．
（2）假设n=k≥4时，不等式成立，即3^k-k（3+2k）＞0，
则n=k+1时，3^k+1-（k+1）（3+2k+2）=3[3^k-k（3+2k）]+6k²+2k-3＞0，
∴n=k+1时，不等式成立．
综上可得：?n∈N^*，n≥4时，n（3+2n）＜3ⁿ恒成立．
∴n的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、递推关系、“错位相减法”、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．