Question

已知椭圆的离心率为，并且椭圆经过点，过原点的直线

与椭圆交于两点，椭圆上一点满足．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明： 为定值；

（3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）由题设：解得，

椭圆的方程为                           

（2）①直线的斜率不存在或为0时，；

②直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，

则，直线的方程为，

     由得，，

     同理，                                            

     

，

为定值；                                

（3）由（2）得：

     ①直线的斜率不存在或为0时，；

②直线的斜率存在且不为0时，

 

     原点到直线的距离， 

     直线与圆相切，

即存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切．