Question

已知双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a，b＞0）的离心率e=

5

2

，焦点（0，c）到一条渐近线的距离为1．
（1）求此双曲线的方程；
（2）设P为双曲线上一点，A、B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若

AP

=λ

PB

，其中λ∈[

1

2

，3]，求△AOB面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先由双曲线标准方程求得顶点坐标和渐近线方程，进而根据顶点到渐近线的距离求得a，b和c的关系，进而根据离心率求得a和c的关系，最后根据c=

a2+b2

，综合得方程组求得a，b和c，则双曲线方程可得．
（2）由（1）可求得渐近线方程，设A（m，2m），B（-n，2n），根据

AP

=λ

PB

，得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n与λ的关系式，设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值，△AOB面积的取值范围可得．

解答： 解：（1）由题意知，双曲线的焦点（0，c）到一条渐近线的距离为1，
∴b=1，
又∵双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1（a，b＞0）的离心率e=

c

a

=

5

2

，
即c=

5

2

a，
由c=

a2+b2

得：

5

2

a=

a2+1

，
解得a²=4，
∴双曲线C的方程为

y2

4

-x2=1．
（2）由（1）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．
设A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．
由

AP

=λ

PB

，得P点的坐标为（

m-λn

1+λ

，

2(m+λn)

1+λ

），
将P点坐标代入

y2

4

-x2=1，化简得mn=

(1+λ)2

4λ

．
设∠AOB=2θ，
∵tan（

π

2

-θ）=2，
∴tanθ=

1

2

，sinθ=

5

5

，sin2θ=

4

5

．
又|OA|=

5

m，|OB|=

5

n，
∴S△_AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin2θ=2mn=

1

2

（λ+

1

λ

）+1．
记S（λ）=

1

2

（λ+

1

λ

）+1，λ∈[

1

2

，3]，
由S'（λ）=0得λ=1，又S（1）=2，S（

1

2

）=

9

4

，S（3）=

8

3

，
当λ=1时，△AOB的面积取得最小值2，当λ=3时，△AOB的面积取得最大值

8

3

，
∴△AOB面积的取值范围是[2，

8

3

]．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程和直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题的能力．