Question

已知函数f（x）=[2log₄（2x）-（2a+1）]•log₂x+3，x∈[

3	2

，8]
（1）若f（x）的最小值记为h（a），求h（a）的解析式；
（2）是否存在实数m，n同时满足以下条件：
①log₃m＞log₃n＞1；
②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n²，m²]．若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令t=log₂x，可得t∈[

1

3

，3]，y=t²-2at+3，由于函数y的对称轴方程为t=a，分类讨论求得f（x）的最小值h（a）．
（2）由条件可得m＞n＞3，h（a）=-6a+12，根据（a）的值域可得-6n+12=n²，且-6m+12=m²，两式相减可得6（m-n）=（m-n）（m+n），这不可能成立，从而得出结论．

解答： 解：（1）令t=log₂x，∵x∈[

3	2

，8]，∴t∈[

1

3

，3]，y=t²-2at+3．
由于函数y的对称轴方程为t=a，①当a＜

1

3

时，f（x）的最小值h（a）=f（

1

3

）=-

2a

3

+

28

9

；
②当a∈[

1

3

，3]时，f（x）的最小值h（a）=f（a）=-a²+3；③当a＞3时，f（x）的最小值h（a）=f（3）=-6a+12．
综上可得，h（a）=

- 2a 3 + 28 3 ，a＜ 1 3 -a2+3，a∈[ 1 3 ，3] -6a+12，a＞3

．
（2）由log₃m＞log₃n＞1，可得m＞n＞3，故h（a）=-6a+12，而h（a）在[n，m]上的值域为[h（n），h（m）]，
即[-6n+12，-6m+12]．
而已知h（a）的值域为[n²，m²]，可得-6n+12=n²，且-6m+12=m²，两式相减可得6（m-n）=（m-n）（m+n），
由m＞n＞3可得6（m-n）=（m-n）（m+n） 不可能成立，故满足条件的m、n不存在．

点评：本题主要考查对数函数的性质的综合应用，二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．