Question

已知定义在R上的函数y=f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=ln（x²-2x+2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据偶函数的性质将条件进行转化即可求f（x）的解析式；
（2）利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可写出f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）设x＜0，则-x＞0，∵x≥0时，f（x）=ln（x²-2x+2）．
∴f（-x）=ln（x²+2x+2）．
∵函数y=f（x）是偶函数，
∴f（-x）=ln（x²+2x+2）=f（x）．
即f（x）=ln（x²+2x+2），x＜0．
则f（x）=

ln(x2-2x+2) x≥0 ln(x2+2x+2) x＜0

．
（2）设t=x²-2x+2=（x-1）²+1，
则当x≥1时，函数t=（x-1）²+1为增函数，
∵y=lnt为增函数，∴根据复合函数单调性之间的关系可知此时函数f（x）=ln（x²-2x+2）为增函数．
当0≤x≤1时，函数t=（x-1）²+1为减函数，
∵y=lnt为增函数，∴根据复合函数单调性之间的关系可知此时函数f（x）=ln（x²-2x+2）为减函数．
∵f（x）是偶函数，
∴当x≤-1时，函数f（x）为减函数，当-1≤x≤0时，函数f（x）为增函数，
故f（x）的单调递增区间为[-1，0]和[1，+∞）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及复合函数单调性的判断，利用换元法是解决本题的关键．