Question

已知函数f（x）=m-|3x-4|，且不等式f（x）≥1的解集为{x|1≤x≤

5

3

}．
（1）求实数m的值；
（2）若不等式ax+1-f（x）≤0的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）不等式f（x）≥1即|3x-4|≤m-1，由其解集为{x|1≤x≤

5

3

}，得

m＞1 1-m≤3x-4≤m-1

，解出不等式，根据不等式解集可得关于m的方程；
（2）不等式ax+1-f（x）≤0，即|3x-4|≤1-ax，由不等式ax+1-f（x）≤0的解集为空集，得|3x-4|＞1-ax的解集为R，作出函数y=|3x-4|及y=1-ax的图象，则y=1-ax的图象恒在函数y=|3x-4|的下方，由此可得a的不等式．

解答： 解：（1）m-|3x-4|≥1⇒|3x-4|≤m-1，
∵不等式f（x）≥1的解集为{x|1≤x≤

5

3

}，
∴

m＞1 1-m≤3x-4≤m-1

⇒

m＞1 5-m 3 ≤x≤ m+3 3

⇒

m＞1 5-m 3 =1 m+3 3 = 5 3

⇒m=2，
∴实数m的值为2；
（2）不等式ax+1-f（x）≤0，即|3x-4|≤1-ax，
∵不等式ax+1-f（x）≤0的解集为空集，
∴|3x-4|＞1-ax的解集为R，
作出函数y=|3x-4|及y=1-ax的图象，如图所示：
（2）不等式ax+1-f（x）≤0，即|3x-4|≤1-ax，
∵不等式ax+1-f（x）≤0的解集为空集，
∴|3x-4|＞1-ax的解集为R，
作出函数y=|3x-4|及y=1-ax的图象，如图所示：

直线y=1-ax过定点（0，1），当直线y=1-ax与y=-3x+4平行时，-a=-3，
当直线y=1-ax过点（

4

3

，0）时，-a=-

3

4

，
由图象可知，当|3x-4|＞1-ax的解集为R时，-3≤-a＜-

3

4

，解得

3

4

＜a≤3，
∴实数a的取值范围是

3

4

＜a≤3．

点评：本题考查绝对值不等式的求解、函数恒成立问题，考查转化思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．