Question

已知函数f（x）=e^x-1-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试探究函数F（x）=f（x）-xlnx在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，且f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）直接对f（x）求导，讨论a≤0和a＞0时，f′（x）=e^x-a的正负即可确定函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）对F（x）=f（x）-xlnx进行化简，构造函数h（x）=

ex-1

x

-lnx，x＞0，研究函数h（x）的单调性和最小值，从而画出h（x）的简图，即可确定F（x）=f（x）-xlnx在定义域内是否存在零点；
（Ⅲ）构造函数H（x）=xe^x-e^x+1，（x＞0），求其导数，利用导数研究函数H（x）的单调性，从而确定H（x）的最值，可得到H（x）＞H（0）=0，然后讨论a的取值即可确定实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-1-ax，（x∈R，a∈R），
∴f′（x）=e^x-a，
①当a≤0时，则?x∈R有f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（-∞，+∞）单调递增；
②当a＞0时，f′（x）＞0⇒x＞lna，f′（x）＜0⇒x＜lna
∴函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna）．
综合①②的当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞），单调减区间为（-∞，lna）．
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-xlnx定义域为（0，+∞），
又F(x)=0⇒a=

ex-1

x

-lnx，x＞0，
令h（x）=

ex-1

x

-lnx，x＞0，
则h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，x＞0，
∴h′（x）＞0⇒x＞1，
h′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴h（x）≥h（1）=e-1
由（1）知当a=1时，对?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，
即ex-1＞x?

ex-1

x

＞1
∴当x＞0且x趋向0时，h（x）趋向+∞
随着x＞0的增长，y=e^x-1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x²的增长速度，而y=lnx的增长速度则会越来越慢．
故当x＞0且x趋向+∞时，h（x）趋向+∞．得到函数h（x）的草图如图所示
故①当a＞e-1时，函数F（x）有两个不同的零点；
②当a=e-1时，函数F（x）有且仅有一个零点；
③当a＜e-1时，函数F（x）无零点；
（Ⅲ）由（2）知当x＞0时，e^x-1＞x，故对?x＞0，g（x）＞0，
先分析法证明：?x＞0，g（x）＜x
要证?x＞0，g（x）＜x
只需证?x＞0，

ex-1

x

＜ex
即证?x＞0，xe^x-e^x+1＞0
构造函数H（x）=xe^x-e^x+1，（x＞0）
∴H′（x）=xe^x＞0，?x＞0
故函数H（x）=xe^x-e^x+1在（0，+∞）单调递增，
∴H（x）＞H（0）=0，
则?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立．
①当a≤1时，由（1）知，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
则f（g（x））＜f（x）在x∈（0，+∞）上恒成立． 
②当a＞1时，由（1）知，函数f（x）在（lna，+∞）单调递增，在（0，lna）单调递减，
故当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，
∴f（g（x））＞f（x），则不满足题意．
综合①②得，满足题意的实数a的取值范围（-∞，1]．

点评：本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法，属于难题．