Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A、B都是锐角，a=6，b=5，sinB=

1

2

．
（1）求sinA和cosC的值；
（2）设函数f（x）=sin（x+2A），求f（

π

2

）的值．

Answer 1

考点：正弦定理,二倍角的余弦

专题：解三角形

分析：（1）由a，b，sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，再由A与B都为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA与cosB的值，根据cosC=-cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）将x=

π

2

代入f（x）中利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式，把cosA的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵a=6，b=5，sinB=

1

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

b

sinB

，得sinA=

asinB

b

=

6× 1 2

5

=

3

5

，
∵A、B是锐角，
∴cosA=

1-sin2A

=

4

5

，cosB=

1-sin2B

=

3

2

，
∵C=π-（A+B），
∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3-4 3

10

；
（2）由（1）知cosA=

4

5

，
∴f（

π

2

）=sin（

π

2

+2A）=cos2A=2cos²A-1=

32

25

-1=

7

25

．

点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．