Question

16．△ABC是底边边长为2$\sqrt{2}$的等腰直角三角形，P是以直角顶点C为圆心，半径为1的圆上任意一点，若m≤$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$≤n，则n-m的最小值为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 以CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），再代入计算即可．

解答 解：以CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），
∵△ABC是底边边长为2$\sqrt{2}$的等腰直角三角形，
∴A（2，0），B（0，2），
∴$\overrightarrow{AP}$=（cosθ-2，sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（-cosθ，2-sinθ），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$=cos²θ-2cosθ+2sinθ-sin²θ=2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）-1，
∵-1≤sin（θ-$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-2$\sqrt{2}$+1≤2$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）-1≤2$\sqrt{2}$+1，
∵m≤$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PB}$≤n，
∴m=1-2$\sqrt{2}$，n=1+2$\sqrt{2}$，
∴n-m=4$\sqrt{2}$，
故选：A

点评 本题的关键在建立坐标系，然后用三角代换表示各点的坐标，这样使得问题容易表达并易于求解，属中档题．