Question

下列四个命题中：
①a，b∈R，a+b≥2

ab

；
②y=

x2+3

+

1

x2+3

的最小值为2；
③设x，y都是正整数，若

1

x

+

9

y

=1，则x+y的最小值为16；
④若x，y∈R，ε＞0，|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，则|x-y|＜2ε．
其中所有真命题的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：不等式的解法及应用

分析：①，由基本不等式a，b∈R⁺，a+b≥2

ab

可知①错误；
②，由t=

x2+3

≥

3

知，y=t+

1

t

在[

3

，+∞）上单调递增，y_min=

3

+

1

3

≠2，可判断②；
③，依题意，对x，y的取值情况分类讨论，可判断③；
④，利用绝对值不等式的性质可判断④．

解答： 解：对于①，由基本不等式的条件a，b∈R⁺，a+b≥2

ab

可知，①错误；
对于②，令t=

x2+3

≥

3

，则y=t+

1

t

在[

3

，+∞）上单调递增，y_min=

3

+

1

3

≠2，故②错误；
对于③，

1

x

+

9

y

=1，x，y∈N*，显然x≠1，整理得：y=

9x

x-1

，x，y∈N*，
当x=2时，y=18，此时x+y=20；
当x≥3时，x与x-1互质，因此必然有x-1是9的因数，故x-1=3，9⇒x=4，10，
当x=4，y=12时，x+y=16；当x=10，y=10时，x+y=20．
故（x+y）_min=16，③是正确的．
对于④，由|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，则|x-2|+|y-2|＜2ε，
又|x-2|+|y-2|≥|（x-2）-（y-2）|=|x-y|，
由|x-2|+|y-2|＜2ε，必然有（|x-2|+|y-2|）_min＜2ε，即|x-y|＜2ε，故④正确．
故选：B．

点评：本题考查不等式的性质及应用，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．