Question

16．已知函数f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$（x＞-1），设F（x）=f（x-4），且函数F（x）的零点在区间[a-1，a]（a∈Z）内，则${（x+\frac{a}{2}）}^{a}$的展开式中x³的系数为（　　）

• A． 20
• B． 15
• C． 12
• D． 8

Answer 1

分析 由题意可得f（0）=1，f（-1）＜0，利用导数可得f（x）在（-1，0）上单调递增，f（x）在（-1，0）上有唯一零点，可得F（x）的零点所在的区间为（3，4），求得a=4．再利用二项展开式的通项公式求得${（x+\frac{a}{2}）}^{a}$的展开式中x³的系数．

解答 解：由题意可得f（0）=1，f（-1）=1-1+（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）+（-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$）+…+（-$\frac{1}{2014}$+$\frac{1}{2015}$）＜0，
f′（x）=1-x+x²-x³+…+-x²⁰¹³+x²⁰¹⁴ 在（-1，0）上大于零，f（x）在（-1，0）上单调递增，
故f（x）在（-1，0）上有唯一零点．
F（x）=f（x-4）=f（x-4）-$\frac{{（x-4）}^{2}}{2}$+$\frac{{（x-4）}^{3}}{3}$-$\frac{{（x-4）}^{4}}{4}$+…+$\frac{{（x-4）}^{2015}}{2015}$的图象，是把f（x）的图象向右平移4个单位得到的，
故F（x）的零点所在的区间为（3，4）．
再根据数F（x）的零点在区间[a-1，a]，可得a=4，
故则${（x+\frac{a}{2}）}^{a}$=（x+2）⁴，故则${（x+\frac{a}{2}）}^{a}$的展开式中x³的系数为 ${C}_{4}^{1}$•2=8，
故选：D．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．