Question

已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：
①f（x）在D上单调递减或单调递增；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]（a＜b）．那么撑f（x）（x∈D）为闭函数．
（1）求闭函数f（x）=

x

符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数y=lnx+3x-6是不是闭函数，若是请找出区间[a，b]，若不是请说明理由；
（3）若y=（x-k）²，x∈（k，+∞）是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）=

x

为单调递增函数，可得

f(a)= a =a f(b)= b =b

（a＜b），解得答案；
（2）由函数lnx+3x-6在（0，+∞）单调递增可知

f(a)=lna+3a-6=a f(b)=lnb+3b-6=b

，结合对数函数的单调性可判断；
（3）由y=（x-k）²，x∈（k，+∞）是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，结合函数的图象可求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

x

在[0，+∞）上为单调递增函数，
若存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，
则

f(a)= a =a f(b)= b =b

（a＜b），
即a，b为

x

=x的两个非负根，
解

x

=x得：x=0，或x=1，
∴a=0，b=1；
（2）∵函数lnx+3x-6在（0，+∞）单调递增，
若函数y=lnx+3x-6是闭函数，
则

f(a)=lna+3a-6=a f(b)=lnb+3b-6=b

，
即a，b为lnx=6-2x的两个正根，
由方程lnx=6-2x有且只有一个正根，
故函数y=lnx+3x-6不是闭函数；
（3）若y=（x-k）²，x∈（k，+∞）是闭函数，
由y=（x-k）²，x∈（k，+∞）为增函数，
则

f(a)=(a-k)2=a f(b)=(b-k)2=b

，
即a，b为x²-（2k+1）x+k²=0的两个大于k的根，
即

(2k+1)2-4k2＞0 2k+1- (2k+1)2-4k2 2 ＞k

，
解得：k∈（-

1

4

，0）

点评：本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思想．