题目内容

定义
a
?
b
=|
a
|•|
b
|sinθ（θ为
a
与
b
的夹角），给出下列命题．
①
a
?
b
=
b
?
a
；                  
②λ（
a
?
b
）=（λ
a
）?
b
；
③
a
?（
b
+
c
）=
a
?
b
+
a
?
c
；       
④
a
⊥
b
?
a
?
b
=|
a
|•|
b
|；
⑤设
a
=（x1，y1），
b
=（x2，y2），则
a
?
b
=|x1y2-x2y1|
其中正确的序号为
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：①由
a
?
b
=|
a
|•|
b
|sinθ=
b
?
a
，即可判断出；
②λ＜0不成立；
③取
a
=（1，0），
b
=（0，1），
c
=（0，-1），即可判断出；
④
a
⊥
b
?θ=
π
2
?
a
?
b
=|
a
|•|
b
|；
⑤设
a
=（x1，y1），
b
=（x2，y2），利用数量积运算可得
a
•
b
=x1x2+y1y2.(
a
?
b
)2=
a
2×
b
2×sin2θ=
a
2×
b
2（1-cos2θ）=
a
2×
b
2-(
a
•
b
)2=(x1y2-x2y1)2，即可得出．
解答： 解：①由
a
?
b
=|
a
|•|
b
|sinθ=
b
?
a
，可知正确；
②λ（
a
?
b
）=（λ
a
）?
b
，λ＜0不成立；
③取
a
=（1，0），
b
=（0，1），
c
=（0，-1），则
a
?（
b
+
c
）=0，
a
?
b
+
a
?
c
=1+1=2，
a
?（
b
+
c
）≠
a
?
b
+
a
?
c
，不正确；
④
a
⊥
b
?θ=
π
2
?
a
?
b
=|
a
|•|
b
|，正确；
⑤设
a
=（x1，y1），
b
=（x2，y2），
∴
a
•
b
=x1x2+y1y2．
(
a
?
b
)2=
a
2×
b
2×sin2θ=
a
2×
b
2（1-cos2θ）=
a
2×
b
2-(
a
•
b
)2
=(x12+
y
2
1
)(
x
2
2
+
y
2
2
)-(x1x2+y1y2)2
=(x1y2-x2y1)2，
∴
a
?
b
=|x1y2-x2y1|，正确．
综上可知：只有①④⑤正确．
故答案为：①④⑤．
点评：本题考查了新定义、数量积运算性质、向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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C、140种D、141种
已知向量
a
=（1，-n），
b
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a
•
b
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A、1或-1B、-1C、0D、-2
已知变量x，y满足的约束条件
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x-y≤1
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．
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OM
=（2，a）（a∈R），则“a=-1”是“点M在第四象限”的（　　）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件

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