题目内容

15．对于所有实数x，不等式x2log2$\frac{4（a+1）}{a}$+2xlog2$\frac{2a}{a+1}$+log2$\frac{（a+1）^{2}}{4{a}^{2}}$＞0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（0，1]D．（-1，0）

分析 设$t={log_2}\frac{2a}{a+1}$，问题转化为“当t为何值时，不等式（3-t）x2+2tx-2t＞0恒成立”，根据二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：因为${log_2}\frac{2a}{a+1}$的值随着参数a的变化而变化，若设$t={log_2}\frac{2a}{a+1}$，
则上述问题实质是“当t为何值时，不等式（3-t）x2+2tx-2t＞0恒成立”．
这是我们较为熟悉的二次函数问题，
等价于求解关于t的不等式组：$\left\{\begin{array}{l}3-t＞0\\△={（2t）^2}+8t（3-t）＜0\end{array}\right.$，
 解得t＜0，即有${log_2}\frac{2a}{a+1}＜0$，易得0＜a＜1．
故选：A．

点评 本题考查了二次函数的性质以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．

练习册系列答案
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1．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日
温差x°C121113108
发芽率y颗2625302316
（1）从这5天中任选2天，求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率；
（2）请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（3）根据（2）中所得的线性回归方程，预测温差为16°C时，种子发芽的颗数．
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x．
2．设集合$M=\{x|y=\sqrt{2x-{x^2}}\}，N=\{x|x≤a\}$，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　）
A．0≤a≤2B．0≤aC．2≤aD．a≤2
3．已知an=n2cos（nπ）-2nsin2（$\frac{nπ}{2}$），则a1+a2+a3+…+100=（　　）
A．-5050B．10100C．50D．100
10．高一（23）班8个同学参加独唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别为（　　）
A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和92
20．数列{an}中，若a1=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{1}{a_n}$+2，则这个数列的第20项为（　　）
A．$\frac{2}{77}$B．40C．$\frac{1}{40}$D．$\frac{1}{39}$
7．上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，体育教师不能上第一节，数学教师不上第四节，则不同排课方案的种数是（　　）
A．24B．22C．20D．14
4．若数列{an}是正项数列，且$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n（{n∈{N^*}}）$，则an=4（n+1）2．
5．已知函数f（x）=|2x2-a|．
（Ⅰ）若f（0）+f（1）＞$\frac{3|a|}{a}$，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）对任意|x|≤1，f（x）≤1恒成立，求实数a的值．

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