Question

5．已知函数f（x）=|2x²-a|．
（Ⅰ）若f（0）+f（1）＞$\frac{3|a|}{a}$，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）对任意|x|≤1，f（x）≤1恒成立，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，解出即可；（Ⅱ）根据f（0）=|-a|≤1，即-1≤a≤1，根据f（1）=|2-a|≤1，求出a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）当a＜0时，f（0）+f（1）＞$\frac{3|a|}{a}$可转化为|a|+|2-a|＞-3，该不等式恒成立；
当a＞0时，f（0）+f（1）＞$\frac{3|a|}{a}$可转化为|a|+|2-a|＞3，解得：a＞$\frac{5}{2}$．
综上可得，实数a的取值范围是（-∞，0）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）对任意|x|≤1，f（x）≤1恒成立，可得f（0）=|-a|≤1，即-1≤a≤1，①
又f（1）=|2-a|≤1，即1≤a≤3，②由①②可知a=1．
验证a=1时，|x|≤1，f（x）≤1恒成立．

点评 本题考查了绝对值的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．