Question

10．据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P（元）和时间t （t∈N）（天）的关系如图所示．
（Ⅰ） 求销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系式；
（Ⅱ）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式是Q=-t+40（0≤t≤30，t∈N），问该产品投放市场第几天时，日销售额y（元）最高，且最高为多少元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论t的范围，求出函数的表达式即可；（Ⅱ）先求出函数的表达式，通过讨论t的范围，求出函数的最大值即可．

解答 解：（I）①当0≤t＜20，t∈N时，
设P=at+b，将（0，20），（20，40）代入，得$\left\{\begin{array}{l}20=b\\ 40=20a+b\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=20.\end{array}\right.$
所以P=t+20（0≤t＜20，t∈N）．…．（3分）
②当20≤t≤30，t∈N时，
设P=at+b，将（20，40），（30，30）代入，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=60.\end{array}\right.$
所以 P=-t+60（20≤t≤30，t∈N），…．（6分）
综上所述$P=\left\{\begin{array}{l}t+20（0≤t＜20，t∈N）\\-t+60（20≤t≤30，t∈N）.\end{array}\right.$…．（7分）
（II）依题意，有y=P•Q，
得$y=\left\{\begin{array}{l}（t+20）（-t+40）（0≤t＜20，t∈N）\\（-t+60）（-t+40）（20≤t≤30，t∈N）.\end{array}\right.$…．（9分）
化简得$y=\left\{\begin{array}{l}-{t^2}+20t+800（0≤t＜20，t∈N）\\{t^2}-100t+2400（20≤t≤30，t∈N）.\end{array}\right.$
整理得 $y=\left\{\begin{array}{l}-{（t-10）^2}+900（0≤t＜20，t∈N）\\{（t-50）^2}-100（20≤t≤30，t∈N）.\end{array}\right.$…．（11分）
①当0≤t＜20，t∈N时，由y=-（t-10）²+900可得，当t=10时，y有最大值900元．…（12分）
②当20≤t≤30，t∈N时，由y=（t-50）²-100可得，当t=20时，y有最大值800元．…．（13分）
因为 900＞800，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元．…．（14分）

点评 本题考查了求函数的表达式问题，考查分段函数，函数的最值问题，是一道中档题．