Question

过椭圆

x2

16

+

y2

4

=1内一点M（2，1）的一条直线与椭圆交于A，B两点，如果弦AB被M点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用点差法，即可求出直线的方程．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由中点坐标公式可得x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆方程，作差整理可得4（x₁-x₂）+4×2（y₁-y₂）=0，
∴直线的斜率为-

1

2

∴所求的直线的方程为y-1=-

1

2

（x-2）即x+2y-4=0．

点评：本题主要考查直线的方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，注意设而不求得解题思想的应用，属于中档题．