Question

已知函数y=4cos²x-4

3

sinxcosx-1（x∈R）．
（1）求出函数的最小正周期；
（2）求出函数的最大值及其相对应的x值；
（3）求出函数的单调增区间；
（4）求出函数的对称轴．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用二倍角的正弦、余弦公式，以及两角差的正弦公式，化简函数解析式化为y=-4sin(2x-

π

6

)+2，
（1）根据最小正周期公式T=

2π

|ω|

求解；
（2）根据解析式知：当sin(2x-

π

6

)=-1时，函数取最大值，求出原函数的最大值和对应的x的值；
（3）根据解析式知：原函数的单调增区间为正弦函数单调减区间，即

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），求解即可；
（4）根据正弦函数得对称轴得2x-

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z），求解即可．

解答： 解：y=4cos²x-4

3

sinxcosx-1=4×

1+cos2x

2

-2

3

sin2x
=2cos2x-2

3

sin2x+2=-4sin(2x-

π

6

)+2
（1）函数的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）当sin(2x-

π

6

)=-1时，函数取最大值为：6，
此时2x-

π

6

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），解得x=-

π

6

+kπ（k∈Z）；
（3）由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）得，

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ（k∈Z），
∴函数的单调增区间是[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）；
（4）由2x-

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）得，x=

π

3

+

kπ

2

（k∈Z），
∴函数的对称轴方程是x=

π

3

+

kπ

2

（k∈Z）．

点评：本题考查正弦函数的性质和三角恒等变换，涉及的公式有：二倍角的正弦、余弦公式，以及两角和与差的正弦公式，其中灵活利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是解本题的关键，注意化简解析式是一定要把ω化为正的．