Question

18．某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50，100）内，设分数x的分布频率是f（x）且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{10}-0.4，10n≤x＜10（n+1），n=5，6，7}\\{-\frac{n}{5}+b，10n≤x＜10（n+1），n=8，9}\end{array}\right.$，考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在[50，60）内的成绩记为1分，考试分数在[60，70）内的成绩记为2分，考试分数在[70，80）内的成绩记为3分，考试分数在[80，90）内的成绩记为4分，考试分数在[90，100）内的成绩记为5分．用分层抽样的方法，现在从成绩在1分，2分及3分的人中用分层抽样随机抽出6人，再从这6人中抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ（将频率视为概率）．
（1）求b的值，并估计班级的考试平均分数；
（2）求P（ξ=7）；
（3）求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）求出各个分数段的频率，列出频率分布表，根据频率之和为1，求得b，再求平均值．
（2）从成绩在1分，2分及3分的人中用分层抽样随机抽出6人，则成绩为1分、2分、3分的分别为1人、2人、3人，再从这6人中抽出3人，成绩之和为7的情况有，1+3+3，2+2+3
（3）ξ的可能取值为5，6，7，8，9，求出相应概率，再求解．

解答 解：（1）依题意频率分布表如下：

分数	[50，60）	[60.70）	[70.80）	[80，90）	[90，100）
成绩	1	2	3	4	5
频率	0.1	0.2	0.3	b-1.6	b-1.8

∵f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）=1，∴b=1.9
班级的平均成绩$\overline{x}$=55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.3+95×0.1=76（分）
（2）从成绩在1分，2分及3分的人中用分层抽样随机抽出6人，则成绩为1分、2分、3分的分别为1人、2人、3人，
再从这6人中抽出3人，记这3人的成绩之和为ξ，P（ξ=7）=$\frac{1{×C}_{3}^{2}+1{×C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{3}}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$
（3）ξ的可能取值为5，6，7，8，9
P（ξ=5）=$\frac{1}{20}$，P（ξ=6）=$\frac{6}{20}$，P（ξ=7）=$\frac{6}{20}$，P（ξ=8）=$\frac{6}{20}$，P（ξ=9）=$\frac{1}{20}$
ξ的分布列如下：

ξ	5	6	7	8	9
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{6}{20}$	$\frac{6}{20}$	$\frac{6}{20}$	$\frac{1}{20}$

∴E（ξ）=5×$\frac{1}{20}$+（6+7+8）×$\frac{6}{20}$+9×$\frac{1}{20}$=7

点评 本题考查了抽样方法、统计的初步知识，及离散型随机变量的分布列、数学期望，属于中档题．