题目内容
9．已知$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$，且$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角大小为$\frac{2π}{3}$．分析 对$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$两边平方，得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$与${\overrightarrow{a}}^{2}$的关系，代入夹角公式计算即可．
解答 解：∵$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=3${\overrightarrow{a}}^{2}$+3${\overrightarrow{b}}^{2}$+6$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∵$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{-4{\overrightarrow{a}}^{2}}{8}$=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角大小为$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．
点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．
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