Question

3．已知函数g（x）=$\frac{1}{xsinθ}$+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx-$\frac{m-1}{x}$-lnx（m∈R）．
（1）求θ的值；
（2）设h（x）=$\frac{2e}{x}$，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知$\frac{sinθ•x-1}{sinθ{•x}^{2}}$≥0．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，结合θ∈（0，π），可以得到θ的值．
（2）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx-$\frac{m}{x}$-2lnx-$\frac{2e}{x}$，由此入手可以得到m的取值范围是（ $\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）

解答 解：（1）由题意，g′（x）=-$\frac{1}{sinθ{•x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$≥0在[1，+∞）上恒成立，即$\frac{sinθ•x-1}{sinθ{•x}^{2}}$≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得θ=$\frac{π}{2}$，
（2）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx-$\frac{m}{x}$-2lnx-$\frac{2e}{x}$，
当m≤0时，x∈[1，e]，mx-$\frac{m}{x}$≤0，-2lnx-$\frac{2e}{x}$＜0，
所以在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立．
当m＞0时，F′（x）=$\frac{{mx}^{2}-2x+m+2e}{{x}^{2}}$，
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）_max=F（e）=me-$\frac{m}{e}$-4，只要me-$\frac{m}{e}$-4＞0，
解得：m＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
故m的取值范围是：（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）．

点评 本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．