Question

函数f（x）=

|x+1|+|x+2|-a

．
（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；
（Ⅱ）设B={x|-1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁_RA）时，求证：

|a+b|

2

＜|1+

ab

4

|．

Answer 1

考点：不等式的证明,集合的包含关系判断及应用,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用,集合

分析：（Ⅰ）根据题意，得|x+1|+|x+2|-5≥0；求出x的取值范围，即是f（x）的定义域A；
（Ⅱ）由A、B求出B∩C_RA，即得a、b的取值范围，由此证明

|a+b|

2

＜|1+

ab

4

|成立即可．

解答： 解：（Ⅰ）a=5时，函数f（x）=

|x+1|+|x+2|-5

，
∴|x+1|+|x+2|-5≥0；
即|x+1|+|x+2|≥5，
当x≥-1时，x+1+x+2≥5，∴x≥1；
当-1＞x＞-2时，-x-1+x+2≥5，∴x∈∅；
当x≤-2时，-x-1-x-2≥5，∴x≤-4；
综上，f（x）的定义域是A={x|x≤-4或x≥1}．
（Ⅱ）∵A={x|x≤-4或x≥1}，B={x|-1＜x＜2}，
∴∁_RA=（-4，1），
∴B∩C_RA=（-1，1）；
又∵

|a+b|

2

＜|1+

ab

4

|?2|a+b|＜|4+ab|，
而

4(a+b)2-(4+ab)2 =4(a2+2ab+b2)-(16+8ab+a2b2) =4a2+4b2-a2b2-16 =a2(4-b2)+4(b2-4) =(b2-4)(4-a2)

；
当a，b∈（-1，1）时，
（b²-4）（4-a²）＜0；
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
即

|a+b|

2

＜|1+

ab

4

|．

点评：本题考查了求函数的定义域以及集合的运算和不等式的解法与证明问题，是综合题，解题时应把含绝对值的不等式分类讨论，不等式证明时常用作差法，是中档题．