Question

7．（1）已知（1-x+x²）³（1-2x²）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₄x¹⁴，求a₁+a₃+a₅+…+a₁₃的值．
（2）已知${（{x+1}）^2}{（{x+2}）^{2015}}={a_0}+{a_1}（{x+2}）+{a_2}{（{x+2}）^2}+…+{a_{2017}}{（{x+2}）^{2017}}$，求$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+…+\frac{{{a_{2017}}}}{{{2^{2017}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）可令x=1，x=-1，两式相减，计算即可得到所求和；
（2）可令x=-2，x=-$\frac{3}{2}$，代入恒等式，即可得到所求和．

解答 解：（1）（1-x+x²）³（1-2x²）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₄x¹⁴，
令x=1可得1=a₀+a₁+a₂+…+a₁₄，
可令x=-1可得27=a₀-a₁+a₂-…+a₁₄，
两式相减可得，a₁+a₃+a₅+…+a₁₃=$\frac{1}{2}$×（1-27）=-13；
（2）${（{x+1}）^2}{（{x+2}）^{2015}}={a_0}+{a_1}（{x+2}）+{a_2}{（{x+2}）^2}+…+{a_{2017}}{（{x+2}）^{2017}}$，
令x=-2可得0=a₀，
令x=-$\frac{3}{2}$可得$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵=a₀+$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+…+\frac{{{a_{2017}}}}{{{2^{2017}}}}$，
可得$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+…+\frac{{{a_{2017}}}}{{{2^{2017}}}}$=（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁷．

点评 本题考查二项式定理的运用：求指定项的系数和，注意运用赋值法，考查运算能力，属于中档题．