Question

16．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c，若f（x）有两个极值点α、β，且0＜α＜1＜β＜2，则$\frac{a^2}{4}+{b^2}$的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{4}，\frac{13}{4}）$
• B． $（\frac{1}{4}，1）$
• C． $（1，\frac{9}{4}）$
• D． $（\frac{9}{4}，\frac{13}{4}）$

Answer 1

分析 求出导函数，据韦达定理求出α，β与a，b的关系，据α，β的范围求出a，b的范围，画出关于a，b的不等式组的可行域，由图数形结合

解答 解：f′（x）=x²+ax+2b，
∵α，β是f（x）的极值点，
所以α，β是x²+ax+2b=0的两个根，
∴α+β=-a，αβ=2b，
∵α∈（0，1），β∈（1，2），
∴1＜α+β＜3，0＜αβ＜2
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2
令m=$\frac{a}{2}$，n=b，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}＜m＜-\frac{1}{2}}\\{0＜n＜1}\end{array}\right.$
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}＜m＜-\frac{1}{2}}\\{0＜n＜1}\end{array}\right.$的可行域，
则$\frac{a^2}{4}+{b^2}$表示可行域中的点（m，n）与（0，0）的距离平方m²+n²，
结合图形可得OP²=$\frac{13}{4}$，OA²=$\frac{1}{4}$，
则$\frac{a^2}{4}+{b^2}$的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{13}{4}$），
故选：A．

点评 本题考查函数在极值点处的值为0；利用线性规划求函数的最值，关键是给目标函数几何意义