Question

【题目】已知抛物线上一点到其焦点的距离为，以为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过原点.点是与轴的交点， 两点在抛物线上且直线过点，过点及的直线交抛物线于点.

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：直线过一定点，并求出该点坐标.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)直线过定点，证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得，则为等腰三角形.过作轴于，则，据此可得抛物线的方程为.

(2)设的方程为，联立直线方程与抛物线方程可得.结合韦达定理有.直线的方程为.可得，则直线过定点.

试题解析：

（1）∵上一点到其焦点的距离为，∴，

∵以为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过原点，∴，即为等腰三角形.

过作轴于，则，∴得，

∴抛物线的方程为.

（2）证明：设的方程为，代入抛物线的方程，可得.

设， ， ，则，

由，

直线的方程为，∴，

可得，∴，

∴.①

直线的方程为.

可得，②

由①②可得， ，∴直线过定点.