题目内容
【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)求证:当时,对任意
都有
;
(2)若函数有两个极值点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1),令
,求导得
单调递减,
单调递增,
,即
;(2)令
,则
有两个变号零点,且
,通过分类讨论得,
.
试题解析:
(1)当时,
,当
时,
显然成立;
当时,
;
令,
,则
,
可得,
,
减;
,
,
增;
故时,
,
综上,任意都有
,得证.
(2)函数定义域为,令
,若
有两个极值点,则
有两个变号零点,且
,
当时,
在
上恒成立,函数
在
上单增,
至多有一个零点,此时
不存在两个极值点;
当时,令
,可得
,且
,
,即函数
在
单减,在
单增,
若条件成立,则必有
,此时
,
下证: 时,函数
有两个零点
由于,故
,即
在
有唯一零点,记为
;
易得时,
,且
,
令,则
,由(1)可得大于0恒成立,从而
,
即,故
在
有唯一零点,记为
,
从而, ,
;
,
;
,
综上,函数有两个极值点时,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】北京时间3月15日下午,谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量,
获得本场比赛胜利,最终人机大战总比分定格
.人机大战也引发全民对围棋的关注,某学校社团为调查学生学习围棋的情况,随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图(如图所示),将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?
非围棋迷 | 围棋迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,现在从该地区大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为。若每次抽取的结果是相互独立的,求
的平均值和方差.
附: ,其中
.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |