题目内容
【题目】已知椭圆的长轴长是短轴长的
倍,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若的顶点
、
在椭圆上,
所在的直线斜率为
,
所在的直线斜率为
,若
,求
的最大值.
【答案】(1);(2)2.
【解析】试题分析:(1)根据椭圆长轴与短轴的关系列出一个方程,再根据椭圆过已知点列出一个方程,解方程组求出a,b,写出椭圆的标准方程;(2)由于OA和OB的斜率乘积为定值,因此OA的斜率为,则OB的斜率可表示为
,分别把射线OA、OB的方程与椭圆的方程联立,求出A、B两点的横坐标,得出两点的横坐标的积,根据OA、OB方程得出A、B两点的纵坐标的积,从表示出数量积
,再利用基本不等式求出最值.
试题解析:
(1)由题意得解得
∴椭圆的标准方程为.
(2)设,
,不妨设
,
.
由,∴
(
),
直线、
的方程分别为
,
,
联立
解得,
.
∵
,
当且仅当时,等号成立.
所以的最大值为2.
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