Question

若变量x，y满足

y≥1 3x+2y-11≤0 3x+y-7≥0

，则

xy

x2+y2

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：根据分式的特点，利用换元法，利用直线斜率的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：

xy

x2+y2

=

1

x y + y x

，
设z=

x

y

+

y

x

，再设k=

y

x

，则

x

y

+

y

x

=k+

1

k

，k的几何意义是过原点的直线的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图，
则OA的斜率最小，OB的斜率最大，
由

y=1 3x+y-7=0

，解得

x=3 y=1

，即A（3，1），此时OA的斜率k=

1

3

，
由

3x+2y-11=0 3x+y-7=0

，解得

x=1 y=4

，即B（1，4），此时OB的斜率k=4，
即

1

3

≤k≤4，
则z=k+

1

k

，则在[

1

3

，1]上函数z单调递减，则[1，4]上，单调递增，
∴最小值为2，当k=

1

3

，此时z=

10

3

，当k=4时，z=4+

1

4

=

17

4

故2≤z≤

17

4

，
则

4

17

≤

1

z

≤

1

2

，即

4

17

≤

xy

x2+y2

≤

1

2

，
故答案为：[

4

17

，

1

2

]

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用线性规划的知识，结合换元法，以及基本不等式的性质是解决本题的关键．