Question

1．已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）当a∈R时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）当a=-1时，函数f（x）=x²-2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，进而可得函数f（x）的最大值和最小值；
（2）函数f（x）=x²+2ax+2的图象是开口朝上，且以直线x=-a为对称轴的抛物线，分类讨论对称轴与给定区间的位置关系，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）当a=-1时，函数f（x）=x²-2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
由x∈[-5，5]得：
x=-5时，函数取最大值37，
x=1时，函数取最小值1；
（2）函数f（x）=x²+2ax+2的图象是开口朝上，且以直线x=-a为对称轴的抛物线，
若-a＜-5，即a＞5，函数f（x）在[-5，5]上为增函数，
当x=-5时，函数取最小值27-10a；
若-5≤-a≤5，即-5≤a≤5，函数f（x）在[-5，-a]上为减函数，在[-a，5]上为增函数，
当x=-a时，函数取最小值2-a²；
若-a＞5，即a＜-5，函数f（x）在[-5，5]上为减函数，
当x=5时，函数取最小值27+10a．
综上可得：函数f（x）的最小值为：$\left\{\begin{array}{l}27+10a，a＜-5\\ 2-{a}^{2}，-5≤a≤5\\ 27-10a，a＞5\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．