Question

13．给出下列命题：
①椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与$\frac{{x}^{2}}{9-k}$+$\frac{{y}^{2}}{25-k}$=1（0＜k＜9）有相等的焦距；
②“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件；
③已知P是曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，0≤θ≤π）上一点，坐标原点为O，直线PO的倾斜角为$\frac{π}{4}$，则P点坐标是（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2$\sqrt{2}$）；
④直线y=mx+1-m与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的位置关系随着m的变化而变化；
⑤双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，若双曲线上存在一点P，满足|PF₁|=3|PF₂|，则双曲线离心率的取值范围（1，2]．
其中正确命题的所有序号有①②⑤．

Answer 1

分析 对5个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与$\frac{{x}^{2}}{9-k}$+$\frac{{y}^{2}}{25-k}$=1（0＜k＜9）有相等的焦距8，正确；
②“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，正确；
③已知P是曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，0≤θ≤π）上一点，坐标原点为O，直线PO的倾斜角为$\frac{π}{4}$，不是参数的取值，故不正确；
④直线y=mx+1-m过定点（1，1）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的内部，故直线y=mx+1-m与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的位置关系是相交，不正确；
⑤设P点的横坐标为x
∵|PF₁|=3|PF₂|，P在双曲线右支（x≥a）
根据双曲线的第二定义，可得3e（x-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）
∴ex=2a
∵x≥a，∴ex≥ea
∴2a≥ea，∴e≤2
∵e＞1，∴1＜e≤2，即双曲线离心率的取值范围（1，2]，正确．
所以正确命题的所有序号有①②⑤．
故答案为①②⑤．

点评 本题考查曲线与方程，考查圆锥曲线，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．