Question

6．在△ABC中，AB=3，AC=5，cosA=$\frac{1}{15}$，点P在平面ABC内，且$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-4，则|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|的最大值是14．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出BC的值，再以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，根据$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-4得出点P的轨迹，利用中点的定义化简|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|，从而求出它的最大值．

解答 解：△ABC中，AB=3，AC=5，cosA=$\frac{1}{15}$，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA
=3²+5²-2×3×5×$\frac{1}{15}$
=32，
∴BC=4$\sqrt{2}$；
设B（-2$\sqrt{2}$，0），C（2$\sqrt{2}$，0），点P（x，y），
则$\overrightarrow{PB}$=（-2$\sqrt{2}$-x，-y），$\overrightarrow{PC}$=（2$\sqrt{2}$-x，-y），
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=x²-8+y²=-4，
∴x²+y²=4；
∴点P在圆x²+y²=4上；
取BC的中点D，则D（0，0），
∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∴|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|=2|$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PA}$|；
令AD的中点为M，
则|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|=2|$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{PA}$|=4|$\overrightarrow{PM}$|，
∴|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|≤4×（$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AD}$|+2）=2|$\overrightarrow{AD}$|+8；
又${（2|\overrightarrow{AD}|）}^{2}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$=2×（3²+5²），
∴${（2|\overrightarrow{AD}|）}^{2}$=2×34-32=36，
解得2|$\overrightarrow{AD}$|=6，
∴|$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$+2$\overrightarrow{PA}$|的最大值是14．
故答案为：14．

点评 本题考查了余弦定理以及平面向量的数量积与点P的轨迹问题，是综合性题目．