题目内容
12．
如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC=l1，平面ADC1∩平面A1B1C1=l2，（1）求证：l1∥l2；
（2）若此三棱柱是各棱长都相等且侧棱垂直于底面，求A1B与AC1所成角的余弦值．
分析 连接DD1．过B点作直线l1'∥AD，证明l1'即为l1，可得l1∥AD∥A1D1；过C1作直线l2'∥A1D1，证明l2'即为l2，l2∥AD∥A1D1；即可得证l1∥l2．
解答 （1）证明：
连接DD1．在四边形BDD1B1中，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$B1C1=B1D1，BD∥B1D1，
所以四边形BDD1B1为平行四边形，
所以DD1=BB1=AA1①，且DD1∥BB1∥AA1②；由①、②得：
四边形ADD1A1为平行四边形，
所以AD∥A1D1③；
过B点作直线l1'∥AD，由③知l1'∥A1D1，由于AD在面ABC中，
A1D1在面A1B1C1中，
所以l1'∥面ABC，l1'∥A1B1C1，由于B点同时在面ABC和面A1B1C1中，
所以l1'同时在面ABC和面A1B1C1中，即l1'为面ABC和面A1B1C1的交线，
所以l1'即为l1，
所以l1∥AD∥A1D1④；
过C1作直线l2'∥A1D1，同上可以证明l2'即为l2，l2∥AD∥A1D1⑤；
由④、⑤即得l1∥l2．
（2）解：分别取AA1，A1C1，AB的中点E，F，G，连EF，EG，FG
则∠GEF为所求角或其补角，令棱长为2，则GE=EF=$\sqrt{2}$，GF=$\sqrt{5}$，
由余弦定理得cos∠GEF=-$\frac{1}{4}$，故A1B与AC1所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
点评 本题在三棱柱中证明面面平行，并且求A1B与AC1所成角的余弦值．着重考查了线面平行、面面平行的判定定理等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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3．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2+c2-a2=bc，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，a=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则b+c的取值范围是（ ）
| A． | $（1，\frac{3}{2}）$ | B． | $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$ | C． | $（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$ | D． | $（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}]$ |
（文科）底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=$\sqrt{6}$，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
2．设点（a，b）是区间$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$内的随机点，函数f（x）=ax2-4bx+1在区间[1，+∞）上的增函数的概率为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{4}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |