Question

18．已知函数f（x）=2e^x-x³e^x．
（1）求函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＞$\frac{lnx}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0）的值，求出切线方程即可；
（2）问题转化为分别求出函数g（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$的取值范围和h（x）=x³e^x的范围，进行比较即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（2-3x²-x³），
f（0）=2，f′（0）=2，
故切线方程是：y-2=2x，
即2x-y+2=0；
（2）证明：当x∈（0，1）时，2e^x∈（2，2e），$\frac{lnx}{x}$＜0，则-$\frac{lnx}{x}$＞0，
则令g（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$，故g（x）＞2，
设h（x）=x³e^x．
则h′（x）=3x²e^x+x³e^x=x²e^x（3+x），
当x∈（0，1），则h′（x）＞0，即h（x）在（0，1）上为增函数，
则0＜h（x）＜e，
故当x∈（0，1）时，g（x）＞h（x），
故f（x）＞$\frac{lnx}{x}$．

点评 本题主要考查导数的几何意义以及不等式的证明，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强．