Question

3．某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系C=3+x，每日的销售S（单位：万元）与日产量x的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{3x+5+\frac{k}{x-8}，0＜x＜6}\\{14，x≥6}\end{array}\right.$．已知每日的利润L=S-C，且当x=2时，L=3．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求此最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用每日的利润L=S-C，且当x=2时，L=3，可求k的值；
（Ⅱ）利用分段函数，分别求出相应的最值，即可得出函数的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，每日利润L与日产量x的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{2x+\frac{k}{x-8}+2，0＜x＜6}\\{11-x，x≥6}\end{array}\right.$
当x=2时，L=3，即：3=2×2+$\frac{k}{2-8}$+2
∴k=18；
（Ⅱ）当x≥6时，L=11-x为单调递减函数，
故当x=6时，L_max=5，
当0＜x＜6时，L=2x+$\frac{18}{x-8}$+2=2（x-8）+$\frac{18}{x-8}$+18≤6，
当且仅当2（x-8）=$\frac{18}{x-8}$（0＜x＜6），
即x=5时，L_max=6，
综合上述情况，当日产量为5吨时，日利润达到最大6万元．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键．