Question

9．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l与曲线C交于A，B两点，试求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由曲线C的极坐标方程求出曲线C的直角坐标方程即可；
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的方程得5t²+4t-12=0，求出t₁+t₂和t₁t₂的值，由此能求出|AB|．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∴曲线C的直角坐标方程为3x²+4y²=12，化简得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）把直线l的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$代入曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，化简整理得5t²+4t-12=0，
∴${t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{4}{5}$，${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{12}{5}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$．

点评 本题考查直线的极坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，是基础题．