Question

1．已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²-bx（a，b为常数）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出h（x）的导数，可得存在x＞0使h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$＜0，即存在x＞0使x²-bx+1＜0，运用参数分离和构造函数，求出导数和单调区间，可得最小值，进而得到b的范围．

解答 解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），
所以f′（1）=1，
又因为f（1）=ln1=0，
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-0=x-1，即y=x-1，
所求切线方程为x-y-1=0；
（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-bx，h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$（x＞0）．
依题存在x＞0使h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$＜0，∴即存在x＞0使x²-bx+1＜0，
∵不等式x²-bx+1＜0等价为b＞x+$\frac{1}{x}$       （*），
令λ（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）
∵λ′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$（x＞0）．
∴λ（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，
故λ（x）=x+$\frac{1}{x}$∈[2，+∞），
∵存在x＞0，不等式（*）成立，
∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查导数的几何意义，以及不等式存在性问题的解法，注意运用参数分离和转化思想，属于中档题．