题目内容
19．定义：用{x}表示不小于x的最小整数，例如{2}=2，{1，2}=2，{-1，1}=-1，已知数列{an}满足：${a_1}=1，{a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，则{$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2016}+1}$}=（ ）| A． | -1 | B． | 0 | C． | 1 | D． | 2 |
分析 数列{an}满足：${a_1}=1，{a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$＞1．可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，再利用裂项求和方法即可得出．
解答 解：数列{an}满足：${a_1}=1，{a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$＞1．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}+1}}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_{2017}}}}=1-\frac{1}{{{a_{2017}}}}$，
∵$0＜1-\frac{1}{{a}_{2017}}＜1$，
∴$\{1-\frac{1}{{a}_{2017}}\}$=1
则{$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2016}+1}$}=1．
故选：C．
点评 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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