Question

19．若多项式x+x¹¹=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰+a₁₁（x+1）¹¹，则a₁₀的值为-11．

Answer 1

分析 由题意可得，a₁₀为x¹¹=[（x+1）-1]¹¹的展开式中（x+1）¹⁰的系数，根据 x¹¹=[-1+（x+1）]¹¹，按照二项式定理展开，可得a₁₀的值．

解答 解：∵多项式x+x¹¹=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰+a₁₁（x+1）¹¹，
∴a₁₀为x¹¹=[（x+1）-1]¹¹的展开式中（x+1）¹⁰的系数，
∵x¹¹=[-1+（x+1）]¹¹=-${C}_{11}^{0}$+${C}_{11}^{1}$•（x+1）-${C}_{11}^{2}$•（x+1）²+…+${C}_{11}^{11}$•（x+1）¹¹
=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰+a₁₁（x+1）¹¹，
则a₁₀ =-${C}_{11}^{10}$=-11，
故答案为：-11．

点评 本题主要考二项式定理的应用，二项查展开式的通项公式，属于基础题．