Question

6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，数列{b_n}为等差数列，且a₁=b₁-2，a₂（b₂-b₁）=a₁．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）求出a₁，利用前n项和与前n-1项和的关系，推出数列{a_n}的通项公式．然后求解{b_n}的通项公式．
（2）推出${c_n}=\frac{2n+1}{{\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}=（{2n+1}）•{2^{n-1}}$．利用错位相减法求解数列的和即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）-（{2-\frac{1}{{{2^{n-2}}}}}）=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
此式对n=1也成立．
∴${a_n}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}（{n∈{N^*}}）$，
从而b₁=a₁+2=3，${b_2}-{b_1}=\frac{a_1}{a_2}=2$，
又∵{b_n}为等差数列，∴公差为d=2，
∴b_n=3+（n-1）•2=2n+1．
（2）由（1）可知${c_n}=\frac{2n+1}{{\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}}=（{2n+1}）•{2^{n-1}}$．
所以${T_n}=3×1+5×2+7×{2^2}+…+（{2n+1}）•{2^{n-1}}$．①，
①×2得$2{T_n}=3×2+5×{2^2}+…+（{2n-1}）•{2^{n-1}}+（{2n+1}）•{2^n}$．②，
①-②得$-{T_n}=3+2（{{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}}）-（{2n+1}）•{2^n}$，
∴$-{T_n}=3+2×\frac{{2•（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}-（{2n+1}）×{2^n}$，
∴${T_n}=1+（{2n-1}）•{2^n}$．

点评 本题考查数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力．