题目内容

11．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表：
质量指标值mm＜185185≤m＜205m≥205
等级三等品二等品一等品
从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：

（Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定？
（Ⅱ）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；
（III）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足X～N（218，140}），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？

分析 （Ⅰ）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.875，由于该估计值小于0.90，由此不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，由此能求出抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．
（Ⅲ）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为200.4“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（218，140），则E（X）=218．由此能求出“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6．

解答 解：（Ⅰ）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.200+0.300+0.260+0.090+0.025=0.875，
由于该估计值小于0.90，
故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定．
（Ⅱ）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，
故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，
再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：
①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，
故所求的概率$P=\frac{C_3^2C_4^1C_1^1+C_3^1C_4^2C_1^1}{C_8^4}=\frac{3}{7}$．
（Ⅲ）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为：
170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4
“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（218，140），则E（X）=218．
所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了：218-200.4=17.6．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、正态分布、古典概型等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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