Question

函数f（x）对任意a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）在R上是增函数．
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m-4）＜3．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，依题意，易证f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1＞0，从而可证得f（x）在R上是增函数；
（2）依题意，f（3m-4）＜3?f（3m-4）＜f（2），利用f（x）在R上是增函数即可求得m的取值范围．

解答： （1）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1，
∵x₂-x₁＞0，由x＞0时，f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）＞1，
∴f（x₂-x₁）-1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函数．
（2）解：∵f（a+b）=f（a）+f（b）-1，f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3，
∵f（3m-4）＜3，
∴f（3m-4）＜f（2），
∵f（x）是R上的增函数，
∴3m-4＜2，
解得：m＜2．
∴当f（4）=5时，不等式f（3m-4）＜3的解集为：（-∞，2）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，考查转化思想与推理证明能力，属于中档题．