Question

已知函数f（x）满足f（1-x）=f（1+x），且f（x）在[1，+∞）是增函数，如果不等式f（1-m）＜f（m）成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：依题意知，函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且f（x）在[1，+∞）是增函数，在（-∞，1]是减函数，通过对m≥1与m≤1的讨论，利用函数单调性即可求得实数m的取值范围．

解答： 解：∵f（1-x）=f（1+x），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
又f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴f（x）在（-∞，1]是减函数，
∴f（1-m）＜f（m）?f（1+m）＜f（m），
∵m≤1+m恒成立，
∴当m≥1时，f（x）在[1，+∞）是增函数，故f（1+m）＞f（m），即f（1-m）＞f（m）与题意不符；
当m≤1时，f（x）在（-∞，1]是减函数，要使f（1-m）＜f（m）成立，
必须

m≤1 1-m＞m

，解得m＜

1

2

．
故答案为：（-∞，

1

2

）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的对称性与单调性的综合应用．考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题．